ניצוצות מהדף היומי שיעורים של הרב ירון בן דוד

עירובין

בס"ד                                                                                   א מרחשון תשס"ו
                                                                                              3 בנובמבר 05
עירובין ב - כד
שיעור בהנדסת המישור
 
כולנו מכירים את שני הכללים הידועים בהנדסת המישור:
1.      היחס בין קוטר העיגול לבין ההיקף שלו הוא פאי. p=3.14159
2.      הנוסחה למציאת היתר במשולש ישר זוית היא: A2+B2=C2
 
אבל שתי הנוסחאות האלה לא היו בידי חז"ל, ובמקומם אנו מוצאים שני משפטים אחרים, שנראים סותרים את הכלל הזה:
1.      כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח
2.      כל אמתא בריבועא, אמתא ותרי חומשי באלכסונא
 
שני הכללים הללו לכאורה סותרים את מה שאנחנו יכולים למדוד בעצמנו. האם חז"ל, שידעו להעריך את זמנו של המולד בדיוק של אלפית השניה, אינם יכולים לדייק בהיקף של עיגול שכל אחד יכול לשרטט בבית? האם אם לא יכלו למדוד את האלכסון של הריבוע ולראות שהיחס בינו לבין הצלעות אינו 1.4, אלא 1.4142?
 
נבחן את הסוגיות הנוגעות לכך במסכתנו:
1.   משנה מסכת עירובין פרק א משנה ה
 
היתה של קש או של קנים רואין אותה כאילו היא של מתכת. עקומה רואין אותה כאילו היא פשוטה. עגולה רואין אותה כאילו היא מרובעת. כל שיש בהיקפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח:
 
וזהו הדיון שבגמרא סביב המשנה הזו:
2.   תלמוד בבלי מסכת עירובין דף יד עמוד א
 
עגולה רואין אותה כאילו היא מרובעת. הא תו למה לי? - סיפא איצטריכא ליה: כל שיש בהיקפו שלשה טפחים יש בו רחב טפח. מנא הני מילי? - אמר רבי יוחנן, אמר קרא "וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם מוּצָק עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ וקוה וְקָו שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב". והא איכא שפתו! - אמר רב פפא: שפתו שפת פרח שושן כתיב ביה, דכתיב "וְעָבְיוֹ טֶפַח וּשְׂפָתוֹ כְּמַעֲשֵׂה שְׂפַת כּוֹס פֶּרַח שׁוֹשָׁן אַלְפַּיִם בַּת יָכִיל". והאיכא משהו! - כי קא חשיב - מגואי קא חשיב.
 
הכלל הזה של הקורה בפתח המבוי הוא רק אחד מכמה אזכורים בש"ס של הכלל שאומר שההיקף תמיד גדול פי שלוש מהקוטר. אך כידוע השיעור הזה אינו מדוייק, וכפי שמעיר התוספות:
3.   תוספות מסכת עירובין דף יד, א ד"ה והאיכא משהו
 
משמע שהחשבון מצומצם... וקשיא דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות.
 
התוספות נשאר בקושיה, ואינו מבין מדוע הגמרא מדייקת כל כך על עובי כלשהו בשולי הים של שלמה, ואינה מקפידה על 0.14159.
אגב, הכלל הזה - שההיקף הוא פי שלוש מהקוטר נכון במשושה, אבל לא בעיגול. אחד מהאחרונים (הובא בספר 'ארץ החיים', ובגליונות של מאורות הדף היומי עירובין יד) סובר שבימי קדם לא יכלו לצייר עיגול שלם, ולכן עשו רק צורת משושה. אך כמובן שקשה לומר כך בגמרא, שכל מטרתה לדייק, ואין בעיה לעשות עיגול שלם.
נראה כי הגמרא מתעלמת ביודעין מהפער שבין היקף המשושה להיקף העיגול. האם הם לא ידעו זאת? יתרה, מזו, שואלים הראשונים: מדוע הגמרא מחפשת מקור לכך שהיקף המעגל הוא פי שלוש מהקוטר? האם אי אפשר למדוד זאת בעצמנו? שאלה זו מובאת בתשב"ץ בשם התוספות (אם כי התוספות הזה אינו בפנינו):
 
4.   שו"ת תשב"ץ חלק א סימן קסה
 
כתבתי לך בפעם הראשונה שבידיעת שטח העיגול יש לנו בתלמוד דרך מסכים לדרך חכמי יון והוא "כמה מרובע יתר על העגול - רביע". ואתה תפסת עלי ואמרת שאינו מסכים אל האמת ואינו דרך לחכמי יון והארכת בזה. והעולה מדבריך כי החשבון הזה יש בו קירוב, כי לפי דרך חכמי התלמוד אין הקו הסובב יותר מג' דמיוני הקוטר, ולפי דקדוק חכמי יון הוא יותר מעט שהוא ג' דמיונים ושביעי.
ואני לא ממני זה, שכבר ראיתי מה שכתבו התוס' בפ"ק דערובין בהא דתנן (י"ג ע"ב) כל שיש ברחבו טפח יש בהיקפו ג' טפחים ששאלו בגמרא (י"ד ע"א) ואמרו מנה"מ ועל זה הקשו התוס' וז"ל: תימה מה שייך למבעי מנה"מ בדבר שאדם יכול לעמוד עליו? יביאו דבר שהוא רחב טפח ונמדוד ההיקף. ונראה שלפי שאין הדבר מכוון דטפי ודאי הוא משום הכי קא בעי מנא לן מקרא דלא דייקא בההוא פורתא דהוה טפי, ומייתי ראיה מים שעשה שלמה שהוא רחב עשר אמות וקאמר קרא דקו שלשים באמה יסוב אותו. ואע"ג דהוה טפי פורתא, קרא לא דייק בהכי. מהתם ילפי רבנן דלא למידק עכ"ל התוס'. והנה לך ברור שלא נעלם מגורסי התלמוד דקדוק היונים בענין זה.
 
האמת היא שמכל הסוגיות שמזכירות את החשבון הזה, זו הסוגיה היחידה שבה ההתעלמות מהחשבון הנכון גורמת לקולא. בכל שאר הסוגיות (סוכה עגולה, הזורק כוורת לרה"ר, חלון עגול לעירובי חצרות, קורה לטומאת אהל) העובדה שמעגלים את התוצאה גורמת לחומרא ולא לקולא. השאלה היא האם חז"ל מסכימים לעגל גם כאשר מדובר בהקלה בהלכה, או שהעיגול הוא רק לחומרא. לכאורה ניתן להוכיח מסוגייתנו שמעגלים גם להקל, אבל אולי עירובי חצרות הוא דין חריג, מכיון שהוא רק דין מדרבנן, ומדאורייתא אפשר לטלטל במבוי בלי שום תיקון כלל.
 
מהרמב"ם בפירוש המשנה משמע שהחשבון מעוגל גם להקל:
 
5.   פירוש המשניות לרמב"ם, עירובין פרק א משנה ה
 צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב, וכבר עשו מומחי המהנדסים בזה חיבורים, כלומר לידיעת יחס הקוטר להיקפו בקירוב ואופני ההוכחה עליו. והקירוב שמשתמשים בו אנשי המדע הוא יחס אחד לשלושה ושביעית, שכל עיגול שקוטרו אמה אחת הרי יש בהיקפו שלוש אמות ושביעית אמה בקירוב. וכיון שזה לא יושג לגמרי אלא בקירוב, תפשו הם חשבון גדול ואמרו כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח, והסתפקו בזה בכל המדידות שהוצרכו להן בכל התורה.
 
אגב, הרמב"ם צודק שהפאי אינו שלוש ושביעית, שהרי שלוש ושביעית הם: 3.14285
                                                                                    ואילו שיעור הפאי: 3.14159 בערך
 
כך מסיק להלכה גם המשנה ברורה:
6.   שער הציון, או"ח סימן שעב סקי"ח
ואף דבאמת לפי מה שכתבו התוספות בסוכה דף ח, דמה שאמרו "כל אמתא בריבוע אמתא ותרי חומשי באלכסונא", אין החשבון מצומצם כל כך, אלא יש מעט יותר, ונמצא לפי זה העיגול צריך להיות יותר (לפי החשבון האמור בגמרא עי"ש), ובפרט לפי מה שכתב הרמב"ם בעירובין פ"א דמה שאמרו "כל שיש ברחבו טפח יש בהיקפו ג טפחים" הוא גם כן שלא בדקדוק אלא יש מעט יותר, ונמצא לפי זה יתרבה עוד יותר, אלא האמת נלענ"ד דאין לדקדק בזה יותר, דסמכו חכמים על אלו השיעורים על העניינים שבתורה, מפני שקשה לצמצם העודף. ואולי היה מקובל להם מסיני שיש לסמוך על הישעורים האלה אף בשיעורי תורה, ואיך שיהיה במילתא דרבנן בודאי יש לסמוך על השיעורים האלו.
 
סוגיה אחת מתוך הסוגיות שדנות בקוטר העיגול, יכולה לשמש כיוון להסבר העניין:
 
7.   תלמוד בבלי מסכת סוכה דף ז - ח
 
אמר רבי יוחנן: סוכה העשויה ככבשן, אם יש בהקיפה כדי לישב בה עשרים וארבעה בני אדם - כשרה, ואם לאו - פסולה. כמאן - כרבי, דאמר: כל סוכה שאין בה ארבע אמות על ארבע אמות - פסולה. מכדי, גברא באמתא יתיב, כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח, בתריסר סגי!
- הני מילי בעיגולא, אבל בריבועא - בעיא טפי. - מכדי, כמה מרובע יותר על העיגול - רביע, בשיתסר סגי! - הני מילי בעיגול דנפיק מיגו ריבועא, אבל ריבועא דנפיק מגו עיגולא - בעיא טפי, משום מורשא דקרנתא. - מכדי, כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשא באלכסונא, בשבסר נכי חומשי סגיא! - לא דק. - אימור דאמרינן לא דק פורתא, טובא מי אמרינן לא דק? - אמר ליה מר קשישא בריה דרב חסדא לרב אשי: מי סברת גברא באמתא יתיב? תלתא גברי בתרתי אמתא יתבי. - כמה הוו להו - שיתסר, אנן שיבסר נכי חומשא בעינן! - לא דק. - אימור דאמרינן לא דק לחומרא, לקולא מי אמרינן לא דק? - אמר ליה רב אסי לרב אשי: לעולם גברא באמתא יתיב, ורבי יוחנן מקום גברי לא קחשיב. - כמה הוו להו - תמני סרי, בשיבסר נכי חומשא סגיא! - היינו דלא דק, ולחומרא לא דק.
 
בחשבון מדוייק
ע"פ חשבון הגמרא
 
4 אמות
4 אמות
A אורך הריבוע
12.566 אמות
12 אמות
B היקף המעגל החסום
5.656 אמות
5.6 אמות
C אלכסון הריבוע
16 אמות
16 אמות
D היקף הריבוע
17.771 אמות
16.8 אמות
E היקף המעגל החוסם
24.054
2.8 אמות
F היקף המעגל הרחב
 
הסבר:
סוכה מרובעת צריכה להיות בגודל 4*4 אמות.
בציור, אורך הצלע A הוא ארבע אמות.
בהתחלה הגמרא הבינה שאדם יושב על אמה, וממילא אם הסוכה עגולה, הרי שהיא צריכה להיות בעיגול החסום בריבוע של 4*4, כלומר בעיגול שהיקפו B. מכיון שהיקף המעגל גדול פי שלוש מהקוטר, הרי שהיקף המעגל החסום הוא 12 אמות, ולכן מספיק להושיב תריסר אנשים סביב הסוכה.
אח"כ מבינה הגמרא שאין הכוונה לריבוע החסום, אלא להיקף של הסוכה המרובעת, אלא שהוא יהיה בצורה של עיגול, ולכן חושבת הגמרא שהיקף הסוכה העגולה צריך להיות 16, בדיוק כהיקף הריבוע D.
אח"כ מבינה הגמרא שצריך שהסוכה העגולה תחסום בתוכה סוכה של 4*4 אמות, וממילא מדובר בסוכה שההיקף שלה הוא E. ומכיון שהצלע C הוא פי 1.4 מהצלע A, הרי שקוטרו של המעגל החוסם הוא: 1.4*4=5.6. ממילא היקף העיגול הזה יהיה: 5.6*3=16.8
הגמרא לא מוכנה לקבל תשובה שחז"ל עיגלו את המספר הזה למספר 24. לכן ישנו נסיון להסביר שאדם יושב על אמה וחצי ולא על אמה, וממילא 24 בני אדם יושבים בהיקף של 16 אמה. אבל מכיון שראינו שקוטרו של המעגל החוסם סוכה של 4*4 הוא 16.8, הרי הגמרא מעגלת כלפי מטה, וזה לא יכול להיות.
לכן מסבירה הגמרא שמדובר בציור שבו האנשים יושבים מחוץ לסוכה, ומכיון שכל אחד יושב באמה מרובעת, הרי שמדובר בעיגול שההיקף שלו הוא 24 אמות, כלומר שהקוטר שלו הוא 8 אמות. ומכיון שהוספנו את מקום ישיבת האנשים, הרי שהקוטר המקורי של הסוכה הוא רק 6 אמות, וההיקף המקורי של הסוכה הוא 18 אמה.
אבל הרי החשבון שלנו היה שמספיק שהקוטר יהיה 16.8, וכאן אומרת הגמרא שחז"ל עיגלו את התוצאה להחמיר.
 
 
צבי שפלטר, אדריכל ירושלמי, במאמרו בתחומין יט עמ' 456, טוען שלכאורה ודאי שאפשר היה להעמיד גם 23 אנשים, ומדוע דורשת הגמרא 24 אנשים? - מוכרחים לומר שחז"ל אכן ידעו את ערכו של p, ואכן ע"פ החשבון המדוייק, אם נבדוק את קוטרו של המעגל יתברר כך:
42 *42 = 32.   = 5.6568
5.6568 + 2 = 7.6568
7.6568 * p = 24.05
 
לכן, טוען צבי שפלטר, ברור שחז"ל ידעו את ערכו של הפאי, ולכן הגיעו למספר 24 בדיוק. אך מדוע בכלל שיערו חכמים לפי מספר האנשים שיושבים מחוץ לסוכה, ולא לפי מספר האנשים שיושבים בתוך הסוכה?
- כאן טוען צבי שפלטר שיש לדייק בדברי הגמרא. הגמרא אינה דנה על סוכה שעשויה כגליל, שהקוטר שלו למעלה ולמטה שוים, אלא על סוכה שעשויה ככבשן, שהיתה מבנה הדומה לחרוט. ממילא, הקוטר של הסוכה באיזור הסכך היה בערך שתי אמות פחות מאשר הקוטר למטה, וזו הכוונה שאין מחשיבים את אותה אמה.
על יסוד הדברים האלה הוא מסביר את כל הסוגיות שעוסקות בחישובי ההיקף והקוטר. בכל המקרים (קורה, סוכה, כוורת לרה"ר, חלון עגול לעירובי חצרות, קורה לטומאת אהל, ים של שלמה, ומקום הנחת ספר התורה בארון) הוא טוען שמדובר בגוף שההיקף שלו אינו אחיד לכל האורך, ולכן ההלכה מתייחסת בהם כאילו ההיקף הוא פי שלושה מהקוטר.
אילו היה מדובר בדבר שעוביו שוה, הרי שהחישוב צריך להיות בדיוק פאי, אבל מכיון שמדובר בדבר שעוביו משתנה, הרי שחז"ל קבעו שיש לחשב כאילו זה פי שלוש.
 
קטגוריה: מסכת עירובין
AtarimTR